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Coordenadas Homogêneas e Quatérnios

Esta aula de Computação Gráfica foca em duas ferramentas matemáticas essenciais para manipulação e transformação de objetos no espaço 2D e 3D: Coordenadas Homogêneas e Quatérnios.

A primeira parte da aula retoma as Coordenadas Homogêneas (CH). Em 2D (2D-H), estas coordenadas adicionam um valor \(w\) extra, transformando um Ponto \((x, y)\) em \((x, y, 1)\) e um Vetor \((x, y)\) em \((x, y, 0)\). O objetivo principal das Coordenadas Homogêneas é permitir que as transformações afins (que são a composição de uma transformação linear, como: Escala, Rotação, Reflexão e Cisalhamento, com uma translação, que é não linear) sejam executadas através de uma única multiplicação de matriz.

O uso de matrizes homogêneas facilita a Composição de Transformações, onde transformações mais básicas podem ser combinadas para criar sequências complexas. É vital lembrar que a ordem em que as transformações são aplicadas importa. Em 3D (3D-H), a lógica se estende, transformando um Ponto 3D \((x, y, z)\) em \((x, y, z, 1)\) e um Vetor 3D em \((x, y, z, 0)\). As transformações afins em 3D são representadas por matrizes \(4 \times 4\). Caso o valor \(w\) de um ponto mude após uma transformação, a Normalização Homogênea requer a divisão das coordenadas \(x, y,\) e \(z\) por \(w\) para recuperar as coordenadas 'reais'. Também é discutido que as Isometrias (Translação, Rotação e Reflexão) são transformações que preservam a distância entre os pontos (comprimento).

A segunda parte da aula aborda as Rotações em 3D, começando pela representação usando ângulos de Euler (rotações aplicadas em torno dos três eixos X, Y, Z). Enquanto em 2D a ordem da rotação não importa (é comutativa), em 3D a rotação não é comutativa, a ordem em que as rotações são aplicadas muda o resultado final. Esta dependência da ordem leva a vários problemas. Para resolver essas questões, a aula introduz os Quatérnios (\(\mathbb{H}\)) como uma Representação Alternativa de Rotações 3D. Quatérnios são uma extensão dimensional dos números Reais (\(\mathbb{R}\)). Eles são compostos por quatro valores reais, consistindo em uma parte escalar (\(q_r\)) e uma parte vetorial (\(q\)) com as unidades imaginárias \(i, j, k\). A multiplicação de quatérnios, assim como a rotação 3D, não é comutativa (\(q_1q_2 \neq q_2q_1\)).

Para representar rotações, utilizam-se os quatérnios unitários (cujo módulo é 1). Um quatérnio unitário vive numa superfície esférica unitária no \(\mathbb{R}^4\), e seu inverso é igual ao seu conjugado. Uma rotação é definida por um eixo \(u\) e um ângulo \(\theta\). O uso de quatérnios resolve os problemas de ordenação e gimbal lock associados aos ângulos de Euler. A representação do quatérnio pode ser mapeada para uma matriz de rotação em Coordenadas Homogêneas.

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